Os voy a contar lo que os dije que el año pasado expliqué en clase y casi me pegan, así que, por favor, los violentos absteneos de seguir leyendo.
Os explico las reglas de un “juego” y luego hacemos una encuesta.
Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:
1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.
2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.
Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente la longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:
¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:
¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:
Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a:
Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).
Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).
Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios (¡podéis usar la calculadora!):
Entre los que contestéis a las dos preguntas de más arriba (en los comentarios del blog) y participéis en la encuesta (para identificaros os va a pedir una dirección de correo electrónico), sortearemos un libro. El plazo termina el próximo martes 7 de febrero.
Supongo que habéis visto el cartel por los pasillos del insti: el grupo de la biblioteca ha convocado un concurso de relato breve (máximo 150 palabras), en el que hay que explicar qué hacen esos elefantes en la nieve:
Los dos que sean declarados ganadores tendrán como premio un par de entradas de cine (¿que en los carteles habla de tres ganadores? Ya, pero como yo voy a participar sólo puede haber dos ganadores más).
Si os animáis y queréis mostrar a vuestros compañeros lo que habéis escrito podéis pasarme vuestro relato para publicarlo en este blog. ¡Ánimo, tenéis de plazo hasta el próximo viernes 20 de enero!
La taxidermia es el arte de disecar los animales para conservarlos con apariencia de vivos.
A uno de vuestros profesores de matemáticas le gustan mucho los dramones.
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El potentado Don Artemiso Taxidermio estaba a punto de hacerse con ejemplares de todos los animales salvajes, pero vanamente perseguía año tras año a la pareja de paquidermos que lo desafiaba con un amor que fructificó tres veces.
En su enésima expedición a la sabana se encontró con Phoebe, la benjamina de la prole.
- Hola elefantita, pareces afligida.
- Mis papás no tienen trabajo ni comida que darnos y mis hermanas y yo tenemos miedo del hombre blanco del saco que quiere arrancarnos los colmillos.
- En el lugar del que vengo hay paz y prosperidad –Don Artemiso Taxidermio salivó maquinalmente al destello en los ojos de Phoebe-, cuéntaselo a tus padres.
El camino fue largo y tortuoso, pero los dos últimos testigos que los vieron adentrarse en la nevasca camino del palacio, recuerdan aquel brillo que ya nunca tendrán... los ojos de Phoebe en el museo de Don Artemiso Taxidermio.
Es una buena idea que descarguéis los exámenes, los hagáis y consultéis después la solución.
Espero tener corregidos los exámenes para el lunes. No os desaniméis los que suspendáis. Al final del curso habrá una recuperación global en la que cada uno podrá examinarse de las evaluaciones que le hayan quedado pendientes.
Os pasasteis la infancia engañados, y así continuáis en la preadolescencia: los Reyes Magos no son ni Melchor, Gaspar y Baltasar ni los padres. Veamos: las matemáticas son mágicas y adoráis a vuestros profesores como sólo se adora a los reyes... ¡los Reyes Magos somos vuestros profesores de matemáticas!
Un poquito de magia:
i) Decimos que, por ejemplo, el conjunto de los alumnos de la clase de 1º D tiene 27 elementos, porque podemos hacer una lista y numerarla con los 27 primeros números naturales (el orden en el que los pongamos no importa):
1: Millán.
2: Irache.
3: Raquel.
...
25: Pablo.
26: Lucía Mo.
27: Lucía Ma.
ii) Decimos que un conjunto es infinito “del tamaño de los números naturales”, cuando podemos poner todos sus elementos en una lista infinita y numerarla con los números naturales. Otra forma de verlo es pensar que tenemos un hotel con infinitas habitaciones y números en las puertas (1, 2, 3, 4...) y nos llegan como huéspedes los elementos de un conjunto a los que tenemos que ir acomodando. ¿Tendremos sitio para todos?
Y claro, con el "infinito" de por medio empiezan a pasar cosas raras, como que los números enteros, que lo primero que nos viene a la cabeza es que son el doble que los números naturales,
resulta que son exactamente la misma cantidad porque ¡caben perfectamente en nuestro hotel! y según van llegando los acomodamos en una habitación.
Sigamos. ¿Qué más conjuntos de números conocemos? Las fracciones (es decir, los números racionales). Así a ojo parece que son muchos, muchísimos más que los números naturales. Pues no, son exactamente los mismos, porque también podemos hacer una lista con ellos (o darles una habitación en nuestro hotel). Hay varias formas “famosas” de demostrarlo y la más sencilla la explica el siguiente dibujo:
La lista/asignación de habitaciones nos queda:
Paramos aquí y dejamos el "truco de magia" final para la última entrega. Recapitulando:
i) Los números naturales son infinitos.
ii) Los números enteros son infinitos.
iii) Los números racionales (fracciones, es decir, números con desarrollo decimal exacto o periódico), son infinitos.
iv) Los tres conjuntos de números, naturales, enteros y racionales, son conjuntos infinitos con el mismo número de elementos. Esto naturalmente es muy raro (se dice que es una paradoja), porque si recordáis, los números naturales están incluidos en los números enteros y estos a su vez están incluidos en los racionales. ¡¡¿¿Eso no es como decir que en 1º D hay 14 chicos de un total de 27 alumnos y que 14 es igual a 27??!! Sí, es decir eso mismo. Lo que pasa es que con conjuntos finitos es mentira, pero con conjuntos infinitos puede ser verdad.
v) El infinito es un concepto complicado. Creó y sigue creando muchísimos problemas a los matemáticos.
Tras la magia, los regalos: entre todos los alumnos de 2º que contestéis correctamente las dos siguientes preguntas y los de 1º que contestéis correctamente la segunda, sortearemos:
Pregunta 1: Siguiendo el método descrito más arriba, ¿qué fracción ocupa la habitación 23 en el hotel infinito?
Pregunta 2: Imaginad que nos dan una lista de 10 números de 10 cifras escritos sólo con unos y doses, pero sólo nos dejan ver los números que forman la diagonal (detrás de cada X se esconde un uno o un dos pero no podemos verlo), en concreto:
Decid un número (de 10 cifras que sólo pueden ser unos o doses) que sepamos seguro que no está en esta lista.
Tenéis de plazo hasta el viernes 13 de enero. Disfrutad lo que queda de vacaciones. ¡Nos vemos el próximo lunes!
