Infinitos (I parte)

Vamos a inaugurar la temporada de retos matemáticos del curso 2016/2017. Como el año pasado acabé con las existencias de mi trastero, este año los de 2º E se van a encargar de recaudar dinero para premios. Hasta que consigan un bote que merezca la pena éstos serán cutrecillos.

Si os pregunto que me digáis cuántos números enteros hay en comparación con los naturales, seguramente la mayoría responderíais que el doble. Parece claro:

La realidad es, cosas del infinito, ¡que hay los mismos números enteros que naturales!

Vamos allá:

Decimos que un conjunto tiene tamaño n cuando puede hacerse una lista de tamaño n con sus elementos. Por ejemplo, si tenemos el conjunto de la imagen:

decimos que tiene tamaño 6 porque podemos hacer una lista (en realidad podemos hacer unas cuantas porque el orden no importa):

1) Plátano.
2) Fresa.
3) Manzana.
4) Naranja.
5) Pera.
6) Uvas.

Bien, parece sencillo. Lo complicamos: decimos que un conjunto tiene el mismo tamaño infinito que los números naturales si podemos hacer una lista infinita de sus elementos. El primer ejemplo no os sorprenderá:

Ejemplo 1: Podemos hacer una lista con los números naturales.

1) El uno.
2) El dos.
3) El tres.
Y así “hasta el infinito”.

Ejemplo 2: Podemos hacer una lista con los números enteros.

1) El cero.
2) El uno.
3) El menos uno.
4) El dos.
5) El menos dos.
6) El tres.
Y así “hasta el infinito”.

Paramos un momento a tomar aire. Fijaos en lo que hemos conseguido. Vamos haciendo una lista de los números enteros sin dejarnos ninguno. Por muy sorprendente que os parezca la conclusión es clara: hay un número natural por cada número entero, es decir, hay los mismos números enteros que números naturales.

Reto: quien responda correctamente a las siguientes tres preguntas antes del domingo 13 de noviembre, entrará en el sorteo de una “magnífica”... libreta que he encontrado haciendo limpieza en el Departamento (si los de 2º E se "dan prisa" recaudando pasta, le añadimos algo mejor):

i) ¿Cuántas listas distintas, cambiando el orden, podemos hacer del conjunto con las 6 frutas?

Siguiendo la lógica descrita en la lista de los números enteros:

ii) ¿Qué posición ocupan en la lista los números enteros 1000 y el – 1000?

iii) ¿Qué número entero ocupa la posición 2222?


Nota: Os enlazo las instrucciones para comentar en el blog:

INSTRUCCIONES PARA ESCRIBIR UN COMENTARIO

(P.D.) Esto no se ha acabado: se nos abren algunas preguntas a las que responderemos próximamente:

• ¿Se puede hacer una lista con los elementos de cualquier conjunto? (NO).
• ¿Hay infinitos más grandes que otros? (SÍ).