1º de ESO: Los números irracionales (II parte, y última)

Recordamos las reglas del juego: tenemos un palito de longitud 1, lo podemos partir en cuantos trozos iguales nos de la gana, y podemos juntar unos cuantos de esos trozos (los que queramos). ¿Podemos formar así palitos de cualquier longitud que nos pidan entre 0 y 1? Vuestras respuestas:

También a mí la intuición me dice que sí, que como podemos hacer los trozos tan pequeños como nos de la gana, siempre habrá margen para ajustar cualquier longitud que queramos conseguir. Pero me empiezo a mosquear cuando me planteo cómo construir un palito de longitud 0’12345678910111213... ¿Alguna idea? ¿Cómo decidimos en cuántos trozos partir el palito original?

No, no se puede. Es un número con infinitas cifras decimales (lo que no nos deja utilizar la idea de hacer trozos según las cifras: 10 trozos para una cifra, 100 trozos para dos cifras, 1000 trozos para tres cifras, etc.), y como las cifras no se repiten (es decir, no hay periodo), tampoco podemos aplicar el "truquito" que hemos visto para esos casos.

En resumen, se tiene que:

- SÍ podemos conseguir palitos cuya longitud sea un número decimal exacto,

- SÍ podemos conseguir palitos cuya longitud sea un número decimal periódico,

- NO podemos conseguir palitos cuya longitud sea un número decimal con infinitas cifras no periódicas.

Si nos damos cuenta, lo que hemos estado haciendo en este juego ha sido ver si un número decimal (representado por una longitud) se puede poner o no en forma de fracción (eso es en el fondo partir el palito y unir unos cuantos trozos). Olvidándonos de los palitos:

- un número decimal exacto SÍ se puede poner en forma de fracción (y sabemos hacerlo),

- un número decimal periódico SÍ se puede poner en forma de fracción (hemos visto en clase como extra cómo hacerlo),

- un número decimal con infinitas cifras no periódicas NO se puede poner en forma de fracción.

Y este hecho, que existan números que no se puedan poner en forma de fracción, supuso un shock en la antigua Grecia, y a un griego en particular le trajo bastantes problemas (os pongo el enlace a lo que les conté a mis pequeños saltamontes el año pasado):

Hipaso de Metaponto

Nota: En el “juego de los palitos” hemos estado construyéndolos de longitudes entre 0 y 1. Pero podríamos haberlo planteado (añadiendo una regla más) para construir palitos de cualquier longitud, siendo entonces la pregunta, ¿podemos construir palitos de cualquier longitud que nos pidan? La respuesta es la misma: NO.